WSET Level3 練習問題(番外編:カリフォルニアと沿岸湧昇)

解答

$F_{int}$を展開すると,

$$F_{int} = \Omega ^ 2 R \cos \phi + 2 \Omega u + \frac{u^2}{R \cos \phi}$$

と表せる。これはつまり, 実際に働いている力$F_{int}$は, 回転している地球から見た求心力$F_{rot}$と, 見かけ上の外向きの力である$\Omega ^ 2 R \cos \phi$と$2 \Omega u$の合力であるということである。$\Omega ^ 2 R \cos \phi$が遠心力と呼ばれる力であり, $2 \Omega u$がコリオリの力と呼ばれる力である。

また水平方向にはたらく力は, コリオリの力を地球の接線方向に分解し, $2 \Omega u \sin \phi$と求められる。つまり, 地球上で運動する物体全ては, 見かけ上の直角右向きの力(南半球では左向きの力)$2 \Omega u \sin \phi$を受ける。

解答

$V=u+vi$とおき海水の運動方程式を変形すると,

$$\frac{d^2 V}{d z^2} – \frac{f}{\nu} i V = 0$$

となる。この微分方程式の特性方程式は,

$$\lambda^2 – \frac{f}{\nu} i = 0$$

となるので, $\sqrt{i} = \pm \frac{1}{2} \left( 1 + i \right)$であることに注意すれば,

$$\lambda = \pm \sqrt{ \frac{f}{2\nu}} \left( 1 + i \right)$$

となるので, 微分方程式の一般解は, $\delta = \sqrt{ \frac{2\nu}{f}}$とおき, $z\rightarrow -\infty$の境界条件に注意して解くと以下の通りになる。

$$V = C e^{ \left( 1+i \right) \frac{z}{\delta}}$$

ここで, 定数$C$を求めるために, $z=0$での運動方程式を変形すると,

$$\frac{d V}{d z} = \frac{\tau}{\rho \nu}i$$

となる。求めた一般解の微分を代入すると, $C$は以下の通りになるので,

$$C = \frac{\left(1+i\right) \tau \delta}{2\rho\nu}$$

$1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$であることに注意して変形すると, 海水の運動は以下の通りに表せる。

$$V = \frac{\tau \delta}{\sqrt{2} \rho \nu} e^{\frac{z}{\delta}} e^{i \left( \frac{z}{\delta} + \frac{\pi}{4} \right)}$$

このままでは運動の様子が分かりづらいので, 定数項を$V_s = \frac{\tau \delta}{\sqrt{2} \rho \nu}$とおき(これは海面での海水の速度に値する), 実部と虚部に注意しながら$V$を$u$と$v$に分解すると,

$$u = -V_{s} e^{\frac{z}{\delta}} \sin \left( \frac{z}{\delta} – \frac{\pi}{4} \right)$$

$$v = V_{s} e^{\frac{z}{\delta}} \cos \left( \frac{z}{\delta} – \frac{\pi}{4} \right)$$

となる。

次に, $u, v$を鉛直方向に積分し, 正味の海水の流量及び輸送方向を考える。

$\int_{-\infty}^{0}u dz = U, \int_{-\infty}^{0}v dz = V$とおき, 部分積分を実行すると, それぞれ以下の通りになる。

$$U=\frac{\tau}{\rho f}$$

$$V = 0$$

このことから, コリオリの力を加味した場合, 海面に力$\tau$が加わった際, 海水は北半球では風の向きに対して直角右向きに輸送されることがわかる。

解答

海洋には太平高揚気圧, 大陸部には低気圧が存在するため, 北アメリカ西岸では北寄りの風が卓越する。この北寄りの風により, 北アメリカ西岸の表層水は沖へと輸送される(エクマン輸送)。それを補うように, 深層から冷たい海水が湧昇するため(沿岸湧昇), 北アメリカ西岸の海水温は低くなる。北アメリカ西岸の低い海水温により, 北アメリカ西岸の気温は低くなっている。